मान लीजिए f: R to R,f(x) = max { |tan^{-1} x| | vedclass

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Question

(B) हमारे पास $f(x) = \max \{ |	an^{-1} x|, \cot^{-1} x \}$ है।$1$. कथन $I$ का विश्लेषण: फलन $g(x) = |	an^{-1} x|$ और $h(x) = \cot^{-1} x$ हर जगह सत

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उपरोक्त कथनों में से केवल एक कथन सही है।

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(B) हमारे पास $f(x) = \max \{ |	an^{-1} x|, \cot^{-1} x \}$ है।$1$. कथन $I$ का विश्लेषण: फलन $g(x) = |	an^{-1} x|$ और $h(x) = \cot^{-1} x$ हर जगह सतत हैं। दो सतत फलनों का अधिकतम भी सतत होता है। हालाँकि,वे वहाँ प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $|	an^{-1} x| = \cot^{-1} x$ होता है। चूँकि सभी $x$ के लिए $\cot^{-1} x > 0$ है,हम $	an^{-1} x = \cot^{-1} x$ (जहाँ $x > 0$) को हल करते हैं $\Rightarrow 	an^{-1} x = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1} x \Rightarrow 2 	an^{-1} x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow 	an^{-1} x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = 1$। $x=1$ पर,दोनों फलनों के अवकलज अलग-अलग हैं,इसलिए यह $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,कथन $I$ गलत है।$2$. कथन $II$ का विश्लेषण: जैसे $x 	o -\infty$,$f(x) = \max \{|-\frac{\pi}{2}|, \pi\} = \pi$। जैसे $x 	o \infty$,$f(x) = \max \{\frac{\pi}{2}, 0\} = \frac{\pi}{2}$। न्यूनतम मान प्रतिच्छेदन बिंदु $x=1$ पर होता है,जहाँ $f(1) = \frac{\pi}{4}$ है। परिसर $[\frac{\pi}{4}, \pi)$ है। अतः,कथन $II$ गलत है।$3$. कथन $III$ का विश्लेषण: चूँकि फलन आच्छादक (surjective) नहीं है (परिसर $R$ नहीं है) और यह एकदिष्ट (monotonic) नहीं है (यह घटता है और फिर बढ़ता है),इसलिए यह बहु-एक अंतर्क्षेपी फलन है। अतः,कथन $III$ सही है।निष्कर्ष: केवल कथन $III$ सही है। इसलिए,उपरोक्त कथनों में से केवल एक कथन सही है।

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